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    第五节 函数的微分

    \f第五节 函数的微分

    ? ?

    ?

    ? ?

    一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 五、内容小结

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    \f一、微分的概念 1. 引例

    求面积的改变量。

    2 A = A ( x ) = x 解: 面积

    例 1 正方形均匀金属薄板的 加热问题(如图

    x0

    2 0

    ? x

    ? ? 面积 ΔA 改 = x + 变 Δx - 量 x 0

    2

    ? ? = 2 x Δx + Δx 0

    2

    x0

    A

    ? ?= ? ?, ? Δx o Δx

    2

    ? x

    ? ΔA ? 2 x Δx 0

    #

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    \f例 2 一个作非匀速直线运动 的质点,已知

    ? ? 函数 s ( t) = t3 ,求在 t , t + Δt 时段内质点的 Δs 。 0 0

    解: 如图所示

    s(t)

    3 0 2

    ?t0 ?- Δs = + Δt t

    3 2

    0

    3

    t0

    t

    t0+Δt

    ?+ ?Δt ? = 3 t0 Δt + 3 t0?Δt

    2 0

    o(?t)

    ? Δs ? 3 t ? Δt 为所求 #

    ? 设问: 求 y = f ( x ) 的增量 Δy ? f ( x ) ? Δ 0

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    \f2. 微分的概念 微分定义:

    设 y = f ( x ) 在区间 I 内有定义, x , x + Δx ? I 0 0

    ? ?? ? ? ? 若 Δy = f x + Δx ? f x ? A ? Δx + o Δx 0 0

    0

    ? ? A 为与 Δx 无关的常量 , 则称 y = f ( x ) 在 x 点可

    记作 dy , 即 dy = A ? Δx

    此时, A ? Δx 称 是 f(x )在 x 点的微分。 0

    ? 设问: 定义中的 A f ( x ) 0

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    ?

    \f微分与导数的关系

    定理 : 函数 y = f (x )在 x 点可微的充要条件是 0 y = f (x )在 x A? f ?(x 0 点可导,且 0) .

    ? ? Δy o Δx 证: ? ?有 = “ ? ” 由可微性, Δy = A ? Δx + o Δx A + , Δx Δx ? ? Δy ? o Δx ? 则 lim = lim A ? = A ? f?(x = A 必要性得证 0) ? ? Δx ? 0 Δx ? 0 Δx ? Δx ?

    Δy Δy ? ? 则? f ( x ) ? α , lim α ? 0 “ ? ” 由可导性 lim = f( x ) , 0 0 Δx ? 0 Δx ? 0 Δx Δx

    ? ? ? ? ? Δy = f ( x ) Δx + α ? Δx = f ( x ) Δx + o Δx 0 0 α ? Δx ( 其中 lim= 0 ) 故 y = f ( x ) 在 x 点可微, 充分性 0 # ? x ? 0 Δx

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    \f微分与增量的关系

    ? ? 若 主部 设 ? , : ? 均 为 无? 穷 ? ? 小 ? o ? , ? ?, 则 结论 若 : ? ? ? ? o ? ? ~ ?。 ? ? 。 则 ? 称 是 ? 的主部 ? ? ? , ? o ? 有

    ? 定理: 当 f ( x )? 0 时,微分是增量的 主部。 0

    证: 若 ? f ( x ) ? 0 ,则 Δy ? f ( x ? Δx ) ? f ( x ) ? 0 0 0 0

    ? ? ? Δy ? dy 1 ? Δy ?f?(x ? Δx 0) lim ? lim 1? f ?( x0 ) ? ? lim ? ? ?0 Δx?0 Δx ? 0 Δy Δx ? 0 Δy Δy ? ? ? Δx ? ? ?

    Δy ? ? ? ? 其 中 f ( x : ) ? 0 , 不 f 妨 ( x ) ? 设 lim ? 0 , ? ?得证 0o 0是 ?? ? Δy ? dy = Δy ,即 dy Δy 的主部 Δx ? 0Δx # ? ? o ? ? Δy\r

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