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    第五节 函数的微分第五节 函数的微分? ??? ?一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 五、内容小结机动 前页 后页 返回一、微分的概念 1. 引例求面积的改变量。2 A = A ( x ) = x 解: 面积例 1 正方形均匀金属薄板的 加热问题(如图x02 0? x? ? 面积 ΔA 改 = x + 变 Δx - 量 x 02? ? = 2 x Δx + Δx 02x0A? ?= ? ?, ? Δx o Δx2? x? ΔA ? 2 x Δx 0#机动 前页 后页 返回例 2 一个作非匀速直线运动 的质点,已知? ? 函数 s ( t) = t3 ,求在 t , t + Δt 时段内质点的 Δs 。 0 0解: 如图所示s(t)3 0 2?t0 ?- Δs = + Δt t3 203t0tt0+Δt?+ ?Δt ? = 3 t0 Δt + 3 t0?Δt2 0o(?t)? Δs ? 3 t ? Δt 为所求 #? 设问: 求 y = f ( x ) 的增量 Δy ? f ( x ) ? Δ 0机动 前页 后页 返回2. 微分的概念 微分定义:设 y = f ( x ) 在区间 I 内有定义, x , x + Δx ? I 0 0? ?? ? ? ? 若 Δy = f x + Δx ? f x ? A ? Δx + o Δx 0 00? ? A 为与 Δx 无关的常量 , 则称 y = f ( x ) 在 x 点可记作 dy , 即 dy = A ? Δx此时, A ? Δx 称 是 f(x )在 x 点的微分。 0? 设问: 定义中的 A f ( x ) 0机动 前页 后页 返回?微分与导数的关系定理 : 函数 y = f (x )在 x 点可微的充要条件是 0 y = f (x )在 x A? f ?(x 0 点可导,且 0) .? ? Δy o Δx 证: ? ?有 = “ ? ” 由可微性, Δy = A ? Δx + o Δx A + , Δx Δx ? ? Δy ? o Δx ? 则 lim = lim A ? = A ? f?(x = A 必要性得证 0) ? ? Δx ? 0 Δx ? 0 Δx ? Δx ?Δy Δy ? ? 则? f ( x ) ? α , lim α ? 0 “ ? ” 由可导性 lim = f( x ) , 0 0 Δx ? 0 Δx ? 0 Δx Δx? ? ? ? ? Δy = f ( x ) Δx + α ? Δx = f ( x ) Δx + o Δx 0 0 α ? Δx ( 其中 lim= 0 ) 故 y = f ( x ) 在 x 点可微, 充分性 0 # ? x ? 0 Δx机动 前页 后页 返回微分与增量的关系? ? 若 主部 设 ? , : ? 均 为 无? 穷 ? ? 小 ? o ? , ? ?, 则 结论 若 : ? ? ? ? o ? ? ~ ?。 ? ? 。 则 ? 称 是 ? 的主部 ? ? ? , ? o ? 有? 定理: 当 f ( x )? 0 时,微分是增量的 主部。 0证: 若 ? f ( x ) ? 0 ,则 Δy ? f ( x ? Δx ) ? f ( x ) ? 0 0 0 0? ? ? Δy ? dy 1 ? Δy ?f?(x ? Δx 0) lim ? lim 1? f ?( x0 ) ? ? lim ? ? ?0 Δx?0 Δx ? 0 Δy Δx ? 0 Δy Δy ? ? ? Δx ? ? ?Δy ? ? ? ? 其 中 f ( x : ) ? 0 , 不 f 妨 ( x ) ? 设 lim ? 0 , ? ?得证 0o 0是 ?? ? Δy ? dy = Δy ,即 dy Δy 的主部 Δx ? 0Δx # ? ? o ? ? Δy

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