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    公式,用法合集

    极限与连续

    一. 数列函数:

    1. 类型:

    (1)数列: *; *

    (2)初等函数:

    (3)分段函数: *; *;*

    (4)复合(含)函数:

    (5)隐式(方程):

    (6)参式(数一,二):

    (7)变限积分函数:

    (8)级数和函数(数一,三):

    2. 特征(几何):

    (1)单调性与有界性(判别); (单调定号)

    (2)奇偶性与周期性(应用).

    3. 反函数与直接函数:

    二. 极限性质:

    1. 类型: *; * (含); * (含)

    2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

    3. 未定型:

    4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性

    三. 常用结论:

    , , ,

    , , , ,

    ,

    四. 必备公式:

    1. 等价无穷小: 当时,

    ; ; ;

    ; ; ;

    ;

    2. 泰勒公式:

    (1);

    (2);

    (3);

    (4);

    (5).

    五. 常规方法:

    前提: (1)准确判断(其它如:); (2)变量代换(如:)

    1. 抓大弃小,

    2. 无穷小与有界量乘积 () (注:)

    3.处理(其它如:)

    4. 左右极限(包括):

    (1); (2); ; (3)分段函数:, ,

    5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)

    6. 洛必达法则

    (1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比:)

    (2)幂指型处理: (如:)

    (3)含变限积分;

    (4)不能用与不便用

    7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小

    8. 极限函数: (分段函数)

    六. 非常手段

    1. 收敛准则:

    (1)

    (2)双边夹: *, *

    (3)单边挤: * * *

    2. 导数定义(洛必达?):

    3. 积分和: ,

    4. 中值定理:

    5. 级数和(数一三):

    (1)收敛, (如) (2),

    (3)同敛散

    七. 常见应用:

    1. 无穷小比较(等价,阶): *

    (1)

    (2)

    2. 渐近线(含斜):

    (1)

    (2),()

    3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)

    八.上连续函数性质

    1. 连通性: (注:, “平均”值:)

    2. 介值定理: (附: 达布定理)

    (1)零点存在定理: (根的个数);

    (2).

    第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

    一. 基本概念:

    1. 差商与导数: ;

    (1) (注:连续))

    (2)左右导: ;

    (3)可导与连续; (在处,连续不可导;可导)

    2. 微分与导数:

    (1)可微可导; (2)比较的大小比较(图示);

    二. 求导准备:

    1. 基本初等函数求导公式; (注:)

    2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数

    三. 各类求导(方法步骤):

    1. 定义导: (1); (2)分段函数左右导; (3)

    (注:, 求:的连续性)

    2. 初等导(公式加法则):

    (1), 求: (图形题);

    (2), 求: (注:)

    (3),求 (待定系数)

    3. 隐式()导:

    (1)存在定理;

    (2)微分法(一阶微分的形式不变性).

    (3)对数求导法.

    4. 参式导(数一,二):, 求:

    5. 高阶导公式:

    ; ;

    ;

    注:与泰勒展式:

    四. 各类应用:

    1. 斜率与切线(法线); (区别:上点和过点的切线)

    2. 物理: (相对)变化率速度;

    3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)

    4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)

    五. 单调性与极值(必求导)

    1. 判别(驻点):

    (1); ;

    (2)分段函数的单调性

    (3)零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值).

    2. 极值点:

    (1)表格(变号); (由的特点)

    (2)二阶导()

    注(1)的匹配(图形中包含的信息);

    (2)实例: 由确定点“”的特点.

    (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

    3. 不等式证明()

    (1)区别: *单变量与双变量? *?

    (2)类型: *; *

    *; *

    (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如:)

    4. 函数的零点个数: 单调介值

    六. 凹凸与拐点(必求导!):

    1.表格; ()

    2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸.

    七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)

    1. 结论:

    2. 辅助函数构造实例:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4) ;

    3.个零点个零点

    4. 特例: 证明的常规方法:令个零点(待定)

    5. 注: 含时,分家!(柯西定理)

    6. 附(达布定理):可导, , ,使:

    八. 拉格朗日中值定理

    1. 结论:; ()

    2. 估计:

    九. 泰勒公式(连接之间的桥梁)

    1. 结论:;

    2. 应用: 在已知值时进行积分估计

    十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]

    第三讲: 一元积分学

    一. 基本概念:

    1. 原函数:

    (1); (2); (3)

    注(1) (连续不一定可导);

    (2) (连续)

    2. 不定积分性质:

    (1);

    (2);

    二. 不定积分常规方法

    1. 熟悉基本积分公式

    2. 基本方法: 拆(线性性)

    3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活()

    如:

    4. 变量代换:

    (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):

    (2)作用与引伸(化简):

    5. 分部积分(巧用):

    (1)含需求导的被积函数(如);

    (2)“反对幂三指”:

    (3)特别: (*已知的原函数为; *已知)

    6. 特例: (1); (2)快速法; (3)

    三. 定积分:

    1. 概念性质:

    (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续)

    (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)

    *; *

    (3)附:, )

    (4)定积分与变限积分, 反?;值那鹆涤氩嘀?p> 2: 变限积分的处理(重点)

    (1)可积连续,连续可导

    (2) ; ;

    (3)由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

    3.公式: (上必须连续!)

    注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性

    (2)有理式, 三角式, 根式

    (3)含的方程.

    4. 变量代换:

    (1),

    (2) (如:)

    (3),

    (4); ,

    (5),

    5. 分部积分

    (1)准备时“凑常数”

    (2)已知时, 求

    6. 附: 三角函数系的正交性:

    四. 反?;?

    1. 类型: (1) (连续)

    (2): (处为无穷间断)

    2. 敛散;

    3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部)

    4. 特例: (1); (2)

    五. 应用: (柱体侧面积除外)

    1. 面积,

    (1) (2);

    (3); (4)侧面积:

    2. 体积:

    (1); (2)

    (3)

    3. 弧长:

    (1)

    (2)

    (3):

    4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

    5. 平均值(中值定理):

    (1);

    (2), (为周期:)

    第四讲: 微分方程

    一. 基本概念

    1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)

    2. 变换方程:

    (1)令(如欧拉方程)

    (2)令(如伯努利方程)

    3. 建立方程(应用题)的能力

    二. 一阶方程:

    1. 形式: (1); (2); (3)

    2. 变量分离型:

    (1)解法:

    (2)“偏”微分方程:;

    3. 一阶线性(重点):

    (1)解法(积分因子法):

    (2)变化:;

    (3)推广: 伯努利(数一)

    4. 齐次方程:

    (1)解法:

    (2)特例:

    5. 全微分方程(数一):

    6. 一阶差分方程(数三):

    三. 二阶降阶方程

    1.:

    2.: 令

    3.: 令

    四. 高阶线性方程:

    1. 通解结构:

    (1)齐次解:

    (2)非齐次特解:

    2. 常系数方程:

    (1)特征方程与特征根:

    (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附:的算子法)

    (3)由已知解反求方程.

    3. 欧拉方程(数一):, 令

    五. 应用(注意初始条件):

    1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积);

    注: 切线和法线的截距

    2. 积分等式变方程(含变限积分);

    可设

    3. 导数定义立方程:

    含双变量条件的方程

    4. 变化率(速度)

    5.

    6. 路径无关得方程(数一):

    7. 级数与方程:

    (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:

    8. 弹性问题(数三)

    第五讲: 多元微分与二重积分

    一. 二元微分学概念

    1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件),

    (1)

    (2)

    (3) (判别可微性)

    注:点处的偏导数与全微分的极限定义:

    2. 特例:

    (1): 点处可导不连续;

    (2): 点处连续可导不可微;

    二. 偏导数与全微分的计算:

    1. 显函数一,二阶偏导:

    注: (1)型; (2); (3)含变限积分

    2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):

    熟练掌握记号的准确使用

    3. 隐函数(由方程或方程组确定):

    (1)形式: *; * (存在定理)

    (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (要求: 二阶导)

    (3)注:的及时代入

    (4)会变换方程.

    三. 二元极值(定义?);

    1. 二元极值(显式或隐式):

    (1)必要条件(驻点);

    (2)充分条件(判别)

    2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

    (1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件)

    (2)求解步骤: , 求驻点即可.

    3. 有界闭域上最值(重点).

    (1)

    (2)实例: 距离问题

    四. 二重积分计算:

    1. 概念与性质(“积”前工作):

    (1),

    (2)对称性(熟练掌握): *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;

    (3)“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶

    2. 计算(化二次积分):

    (1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“”为主;

    (2)交换积分次序(熟练掌握).

    3. 极坐标使用(转换):

    附:; ;

    双纽线

    4. 特例:

    (1)单变量:

    (2)利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心

    5. 无界域上的反常二重积分(数三)

    五: 一类积分的应用():

    1. “尺寸”: (1); (2)曲面面积(除柱体侧面);

    2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

    3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

    第六讲: 无穷级数(数一,三)

    一. 级数概念

    1. 定义: (1), (2); (3) (如)

    注: (1); (2) (或); (3)“伸缩”级数:收敛收敛.

    2. 性质: (1)收敛的必要条件: ;

    (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论);

    (3);

    二. 正项级数

    1. 正项级数: (1)定义:; (2)特征:; (3)收敛(有界)

    2. 标准级数: (1), (2), (3)

    3. 审敛方法: (注:,)

    (1)比较法(原理): (估计), 如;

    (2)比值与根值: * * (应用: 幂级数收敛半径计算)

    三. 交错级数(含一般项): ()

    1. “审”前考察: (1) (2); (3)绝对(条件)收敛?

    注: 若,则发散

    2. 标准级数: (1); (2); (3)

    3. 莱布尼兹审敛法(收敛?)

    (1)前提:发散; (2)条件:; (3)结论:条件收敛.

    4. 补充方法:

    (1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2).

    5. 注意事项: 对比; ; ; 之间的敛散关系

    四. 幂级数:

    1. 常见形式:

    (1), (2), (3)

    2. 阿贝尔定理:

    (1)结论:;

    (2)注: 当条件收敛时

    3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)

    注(1)同收敛半径

    (2)之间的转换

    4. 幂级数展开法:

    (1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

    ;

    ;

    (2)分解: (注:中心移动) (特别:)

    (3)考察导函数:

    (4)考察原函数:

    5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换):

    (1)

    (2),(注意首项变化)

    (3),

    (4)的微分方程

    (5)应用:.

    6. 方程的幂级数解法

    7. 经济应用(数三):

    (1)复利:; (2)现值:

    五. 傅里叶级数(数一): ()

    1. 傅氏级数(三角级数):

    2.充分条件(收敛定理):

    (1)由(和函数)

    (2)

    3. 系数公式:

    4. 题型: (注:)

    (1)(分段表示)

    (2)

    (3)正弦或余弦

    *(4) ()

    *5.

    6. 附产品:

    第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)

    一. 向量基本运算

    1.; (平行)

    2.; (单位向量(方向余弦) )

    3.; (投影:; 垂直:; 夹角:)

    4.; (法向:; 面积:)

    二. 平面与直线

    1.平面

    (1)特征(基本量):

    (2)方程(点法式):

    (3)其它: *截距式; *三点式

    2.直线

    (1)特征(基本量):

    (2)方程(点向式):

    (3)一般方程(交面式):

    (4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示:)

    3. 实用方法:

    (1)平面束方程:

    (2)距离公式: 如点到平面的距离

    (3)对称问题;

    (4)投影问题.

    三. 曲面与空间曲线(准备)

    1. 曲面

    (1)形式: ; (注: 柱面)

    (2)法向(或)

    2. 曲线

    (1)形式, 或;

    (2)切向: (或)

    3. 应用

    (1)交线, 投影柱面与投影曲线;

    (2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

    (3)锥面计算.

    四. 常用二次曲面

    1. 圆柱面:

    2. 球面:

    变形:, ,

    ,

    3. 锥面:

    变形:,

    4. 抛物面:,

    变形: ,

    5. 双曲面:

    6. 马鞍面:, 或

    五. 偏导几何应用

    1. 曲面

    (1)法向:, 注:

    (2)切平面与法线:

    2. 曲线

    (1)切向:

    (2)切线与法平面

    3. 综合: ,

    六. 方向导与梯度(重点)

    1. 方向导(方向斜率):

    (1)定义(条件):

    (2)计算(充分条件:可微):

    附:

    (3)附:

    2. 梯度(取得最大斜率值的方向):

    (1)计算:

    ;

    (2)结论

    ;

    为最大变化率方向;

    为最大方向导数值.

    第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

    一. 三重积分()

    1.域的特征(不涉及复杂空间域):

    (1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心

    (2)投影法:

    (3)截面法:

    (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球

    2.的特征:

    (1)单变量, (2), (3), (4)

    3. 选择最适合方法:

    (1)“积”前: *; *利用对称性(重点)

    (2)截面法(旋转体): (细腰或中空, ,)

    (3)投影法(直柱体):

    (4)球坐标(球或锥体): ,

    (5)重心法():

    4. 应用问题:

    (1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力

    (2)公式

    二. 第一类线积分()

    1. “积”前准备:

    (1); (2)对称性; (3)代入“”表达式

    2. 计算公式:

    3. 补充说明:

    (1)重心法: ;

    (2)与第二类互换:

    4. 应用范围

    (1)第一类积分

    (2)柱体侧面积

    三. 第一类面积分()

    1. “积”前工作(重点):

    (1); (代入)

    (2)对称性(如: 字母轮换, 重心)

    (3)分片

    2. 计算公式:

    (1)

    (2)与第二类互换:

    四: 第二类曲线积分(1): (其中有向)

    1. 直接计算: ,

    常见(1)水平线与垂直线; (2)

    2. Green公式:

    (1);

    (2): *换路径; *围路径

    (3) (内有奇点) (变形)

    3. 推广(路径无关性):

    (1) (微分方程) (道路变形原理)

    (2)与路径无关(待定): 微分方程.

    4. 应用

    功(环流量): (有向, ,)

    五. 第二类曲面积分:

    1. 定义:, 或(其中含侧)

    2. 计算:

    (1)定向投影(单项): , 其中(特别:水平面);

    注: 垂直侧面, 双层分隔

    (2)合一投影(多项,单层):

    (3)化第一类(不投影):

    3.公式及其应用:

    (1)散度计算:

    (2)公式:封闭外侧,内无奇点

    (3)注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点)

    4. 通量与积分:

    (有向, ,)

    六: 第二类曲线积分(2):

    1. 参数式曲线: 直接计算(代入)

    注(1)当时, 可任选路径; (2)功(环流量):

    2. Stokes公式: (要求:为交面式(有向), 所张曲面含侧)

    (1)旋度计算:

    (2)交面式(一般含平面)封闭曲线:同侧法向;

    (3)Stokes公式(选择):

    ()化为; ()化为; ()化为

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