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    数学竞赛中的数形结合方法引入一个问题 的再思考以形助数以数解形补充思考继续练习1数学竞赛中的数形结合方法数和形这两个基本概念是数学的两块基石, 且在内容 上互相联系 ,在方法上互相渗透, 在一定条件下可以互相 转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的对应和 转化来解决数学问题, 具体来说就是在解题时 ,把图形性 质问题借助于数量关系的推演而具体量化,把数量关系问 题借助于几何背景而直观形象化,它兼有数的严谨与形的 直观之长, 是优化解题过程的重要途径之一, 是一种重要 的数学方法.数学大师华罗庚说得好: 数形本是相倚依 ,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉 ,形缺数时难入微. 数形结合百般好 ,隔裂分家万事休. 几何代数统一体 ,永远联系莫分离.2你会求函数 y ? 3 x ? 1 ? 4 5 ? x 的最小值吗?借助柯西不等式只能求出其最大值,……令 3 x ? 1 ? ? ? 4 5 ? x ? ? ( ? ≥ 0,? ≥ 0) 2 2 ? ? 则 ? ? 1 , y ? ? ? ? ( ? ≥ 0,? ≥ 0) 36 64 可数形结合考虑解决方法……3思考一:以形助数 例 1.对于每个实数 x ,设 f ( x) ? min?4 x ? 1, x ? 2, ?2 x ? 4? 求 f ( x ) 的最大值. 解:在同一坐标系下作下列直线: y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2, y ? ?2 x ? 4 ,由图象得 1 ? ?4 x ? 1 ( x ≤ 3 ) ? 1 2 ∵ f ( x ) 的图象是红线部分, ? f ( x) ? ? x ? 2 ( ? x ≤ ) 3 3 ? 2 8 2 ? ∴当 x ? 时, f ( x ) 的最大是 ? 2 x ? 4 ( x ? ) ? 3 3 3 ? 4例2例 2. 已知 a 和 b 是实数 , 关于 x 的二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的一个根在 ?1 和 1 之间 , 另一 个根在 1 和 2 之间,试求 a ? 2b 的最值.分析:设二次函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b 作出它的图象, 由题设条件得 f (?1) ≥ 0 , f (1) ≤ 0 , f (2) ≥ 0?1 ? a ? b ≥ 0 ? 即 ?1 ? a ? b ≤ 0 , ? 4 ? 2a ? b ≥ 0 ?然后由线性规划的方法可得 (a ? 2b)min ? ?1,(a ? 2b)max ? 55例3例 3(1996 年全国高中数学联赛题)(资料第 2 页例 4) ? ?? 求实数 a 的取值范围,使得对于任意 ? ? ? 0, ? , ? 2? 1 2 2 恒有 ( x ? 3 ? 2sin ? cos ? ) ? ( x ? a sin ? ? a cos ? ) ≥ 8分析:令 y ? x ,?x ? y ? 0 ? 则? 1 2 2 ? x ? (?3 ? 2sin ? cos ? )? ? ? y ? (?a sin ? ? a cos ? )? ≥ 8 ? ? 由此想到解析几何知识来求解,转化为 点 (?3 ? 2sin? cos? , ?a sin? ? a cos? ) 到直线 y ? x 的距离的平 1 1 方大于 ,故原不等式可化为 ?3 ? 2sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ≥ , 8 267 a≥ 或 a≤ 6 2思考二:( 用数解形) 坐标法是典型的用数解形的例子. 这里我们来品味一道平面几何问题. 例 4 .(2004 年全国高中数学竞

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