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    数学竞赛中的数形结合方法

    引入

    一个问题 的再思考

    以形助数

    以数解形

    补充思考

    继续练习

    1

    \f数学竞赛中的数形结合方法

    数和形这两个基本概念是数学的两块基石, 且在内容 上互相联系 ,在方法上互相渗透, 在一定条件下可以互相 转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的对应和 转化来解决数学问题, 具体来说就是在解题时 ,把图形性 质问题借助于数量关系的推演而具体量化,把数量关系问 题借助于几何背景而直观形象化,它兼有数的严谨与形的 直观之长, 是优化解题过程的重要途径之一, 是一种重要 的数学方法.数学大师华罗庚说得好: 数形本是相倚依 ,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉 ,形缺数时难入微. 数形结合百般好 ,隔裂分家万事休. 几何代数统一体 ,永远联系莫分离.

    2

    \f你会求函数 y ? 3 x ? 1 ? 4 5 ? x 的最小值吗?

    借助柯西不等式只能求出其最大值,……

    令 3 x ? 1 ? ? ? 4 5 ? x ? ? ( ? ≥ 0,? ≥ 0) 2 2 ? ? 则 ? ? 1 , y ? ? ? ? ( ? ≥ 0,? ≥ 0) 36 64 可数形结合考虑解决方法……

    3

    \f思考一:以形助数 例 1.对于每个实数 x ,设 f ( x) ? min?4 x ? 1, x ? 2, ?2 x ? 4? 求 f ( x ) 的最大值. 解:在同一坐标系下作下列直线: y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2, y ? ?2 x ? 4 ,

    由图象得 1 ? ?4 x ? 1 ( x ≤ 3 ) ? 1 2 ∵ f ( x ) 的图象是红线部分, ? f ( x) ? ? x ? 2 ( ? x ≤ ) 3 3 ? 2 8 2 ? ∴当 x ? 时, f ( x ) 的最大是 ? 2 x ? 4 ( x ? ) ? 3 3 3 ? 4

    例2

    \f例 2. 已知 a 和 b 是实数 , 关于 x 的二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的一个根在 ?1 和 1 之间 , 另一 个根在 1 和 2 之间,试求 a ? 2b 的最值.

    分析:设二次函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b 作出它的图象, 由题设条件得 f (?1) ≥ 0 , f (1) ≤ 0 , f (2) ≥ 0

    ?1 ? a ? b ≥ 0 ? 即 ?1 ? a ? b ≤ 0 , ? 4 ? 2a ? b ≥ 0 ?

    然后由线性规划的方法可得 (a ? 2b)min ? ?1,(a ? 2b)max ? 5

    5

    例3

    \f例 3(1996 年全国高中数学联赛题)(资料第 2 页例 4) ? ?? 求实数 a 的取值范围,使得对于任意 ? ? ? 0, ? , ? 2? 1 2 2 恒有 ( x ? 3 ? 2sin ? cos ? ) ? ( x ? a sin ? ? a cos ? ) ≥ 8

    分析:令 y ? x ,

    ?x ? y ? 0 ? 则? 1 2 2 ? x ? (?3 ? 2sin ? cos ? )? ? ? y ? (?a sin ? ? a cos ? )? ≥ 8 ? ? 由此想到解析几何知识来求解,转化为 点 (?3 ? 2sin? cos? , ?a sin? ? a cos? ) 到直线 y ? x 的距离的平 1 1 方大于 ,故原不等式可化为 ?3 ? 2sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ≥ , 8 2

    6

    7 a≥ 或 a≤ 6 2

    \f思考二:( 用数解形) 坐标法是典型的用数解形的例子. 这里我们来品味一道平面几何问题. 例 4 .(2004 年全国高中数学竞\r

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