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    2015 年 秋 季学期研究生课程考核

    (读书报告、研究报告)

    考核科目

    : 偏微分方程数值解法

    学生所在院(系)

    : 理学院数学系

    学生所在学科

    : 数学

    学 生 姓 名

    : Hiter

    学 号

    : 1XS012000

    学 生 类 别

    :

    考核结果

    阅卷人抛物型方程有限差分方法的应用摘要

    抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中,将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识,然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。

    关键字:抛物型方程,差分格式,应用Abstract

    Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation.

    Keywords: parabolic equation, difference scheme, application0 前言

    抛物型方程是偏微分方程中的三大方程(另两种为双曲型方程和椭圆型方程)之一,如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程,我们一般从以下几个方面来研究,分别是:定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限,所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。1 抛物型方程有限差分法1.1 简单差分法

    考虑一维模型热传导方程

    , (1.1)

    其中为常数。是给定的连续函数。(1.1)的定解问题分两类:

    第一,初值问题(Cauchy 问题):求足够光滑的函数,满足方程(1.1)和初始条件:

    , (1.2)

    第二,初边值问题(也称混合问题):求足够光滑的函数,满足方程(1.1)和初始条件:

    ,

    及边值条件

    ,

    假定在相应的区域光滑,并且于,两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

    现在考虑边值问题(1.1),(1.3)的差分逼近。取为空间步长,为时间步长,其中,是自然数,

    ,; ,

    将矩形域分割成矩形网格。其中表示网格节点;

    表示网格内点(位于开矩形中的网格节点)的集合;

    表示位于闭矩形中的网格节点的集合;

    表示-网格边界点的集合;

    表示定义在网点处的待求近似解,,。

    注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系():

    可得到以下几种最简差分格式

    (一)向前差分格式

    ,

    , ==0

    其中,。取为网比,则进一步有

    =+++

    此差分格式是按层计算:首先,令,得到

    =+++

    于是,利用初值和边值==0,可算出第一层的,。再由,可利用==0算出,。如此下去,即可逐层算出所有,)。

    由于第层值可以通过第层值直接得到,如此的格式称为显格式。并视的近似值。

    若记

    ,,

    则显格式可写成向量形式

    其中

    若记

    那么截断误差为

    == (1.5)

    其中是矩形,中某一点。

    事实上, +

    =+

    =

    ==。

    这里

    ,从而

    (二)向后差分格式

    , ==0

    其中 ,。取为网比,则进一步有

    +=+

    按层计算:首先,取,则利用初值和边值==0,来确定出第一层的,,即求解方程组:

    +=+

    , ==0。求出,在由,可利用,解出,。如此下去,即可逐层算出所有,。

    如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视的近似值。直观地说,采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是,后面我们将看到,有些情况用隐式格式更为便利。

    (三)Grank-Nicholson法

    将向前差分格式和向后差分格式做算术平均,得到的差分格式称之为六点对称格式,也称为Grank-Nicholson格式:

    , ==0

    进一步,

    +=++

    按层计算:首先,取,则利用初值和边值==0,来确定出第一层的,,即求解方程组:

    +=++

    , ==0。求出,在由,取,可利用,解出,。如此下去,即可逐层算出所有,。

    若记

    那么截断误差为

    = (1.9)

    注意

    =

    两式相加

    +

    故有

    。

    (四)Richardson格式

    + (1.10)

    进一步

    =+)++2

    这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为。为使计算能够逐层进行,除初值外,还要用到。它可以用其他双层格式提供。

    Richardson格式的矩阵形式为:

    其中

    我们着重介绍了以上四种差分格式(还可以作出许多逼近(1.1)(1.3)的差分格式)。1.2 稳定性与收敛性

    抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式:

    (1.11)

    其中,阶矩阵。我们假定可逆,即(1.11)是唯一可解的。对于显格式,等于单位矩阵。三层格式可以通过引入新变量化成两层格式。

    假设差分解的初始值(其实可以是任一层的值)有误差,以后各层计算没有误差,让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令分别是以为初始值由差分格式(1.11)得到的两组差分解,则满足

    (1.12)

    因此,按初值稳定应该意味着。这就导致如下定义:

    假设,我们称差分格式(1.11)按初值稳定,如果存在正常数,使得以下不等式成立:

    ,

    这里上的某一个范数,例如

    类似地,假设,我们称差分格式(1.11)按右端稳定,如果存在正常数,使得以下不等式成立:

    ,

    可以证明,差分格式若按初值稳定,则一定按右端稳定。因此,这时我们简单地称差分格式稳定。

    前面讨论的向前差分格式(1.4)当网比时稳定,当时不稳定。这就意味着给定空间步长以后,时间步长必须足够小,才能保证稳定。而向后差分格式(1.6)和Grank-Nicholson格式(1.8)则对任何网比都是稳定的,时间步长可以取得大一些,从而提高运算效率。Richardson格式则对任意网比都是不稳定的。因此,虽然Richardson格式是个显格式,截断误差又很小,但是却不可用。

    如果某个差分格式的截断误差当趋于0时随之趋于0,则称这个差分格式是相容的??梢灾っ鳎喝舨罘指袷绞窍嗳莸暮臀榷ǖ?,则它是收敛的,并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因此,当网比时,向前差分格式(1.4)有收敛阶。对任何网比,向后差分格式(1.6)有收敛阶,而Grank-Nicholson格式(1.8)有收敛阶。1.3 高维抛物方程差分法

    考虑如下二维抛物方程的差分格式

    (1.13)

    取空间步长,时间步长。作两族平行与坐标轴的网线,,其中,将矩形区域分割成个小矩形。记为网格节点上的差分解。

    前述各种一维差分格式都可以直接用于以(1.13)为代表的二维以至更高维的抛物方程。例如,向前差分格式成为

    (1.14)

    实际计算时,先令,利用已知的等等,对,用(1.14)算出。而由边值条件,补充得到。下一步,令,利用已知的第1层的差分解类似地算出第2层的差分解。以此类推,直到。

    各种隐格式,例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式,也可以类似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时,同样需要求解一个线性方程组。但是,这个线性方程组不再是三对角的,方程组阶数为,其中是抛物方程的维数。因此,求解成本大大增加,甚至导致无法求解。为了克服这一困难,人们提出了各种降维技巧,局部地把高维问题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式(局部一维格式)就是其中一例。

    (1.15a)

    (1.15b)

    ;

    其中

    ,

    LOD格式的计算步骤可以总结如下:

    1)令,。

    2)求解三对角线性方程组(3.3a)得到差分解。

    3)若,则增加1,转步骤4)。否则转4)。

    4)令。

    5)求解三对角线性方程组(3.3b)得到差分解。

    6)若,则增加1,转步骤5)。否则转7)。

    7)若,则增加1,转步骤2)。否则结束。

    LOD格式的基本想法是:由第层计算层时,对,依次固定,然后计算这条直线上各个网点上的近似值;因为这时不变,所以原来的二维微分方程退化为关于的一维微分方程。接着,当由第层计算层时,则依次固定。LOD格式可以直接推广到任意维抛物方程。LOD格式对任意网比都是稳定的,截断误差阶和收敛阶是。1.4 抛物方程有限元法

    考虑一维抛物方程

    (1.16)

    (1.17)

    (1.18)

    其中系数都是的已知光滑函数,初值的已知光滑函数。它的变分方程为:求使得对每一个固定的,都有,并且

    (1.19)

    其中

    (1.20)

    (1.21)

    抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法,在空间方向用有限元法??梢怨赜诒淞?img src="//wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=600&md5sum=c78b2af538c0d9f3b1111fc2cab55ea5&sign=29fd07eb8a&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3&l=webapp&bucketNum=115&ipr=%7B%22t%22%3A%22img%22%2C%22r%22%3A%22r_1%22%2C%22w%22%3A%22553.53%22%2C%22h%22%3A%22415.13%22%2C%22dataType%22%3A%22jpeg%22%2C%22c%22%3A%22word%2Fmedia%2Fimage227.png%22%7D" onerror="this.style.display='none'">构造线性有限元空间。令时间方向步长为。若时间方向用向前差商,空间方向用线性有限元,并记,则有限元方程为:对,逐层求满足

    这相当于在每一层要解一个线性方程组:

    或者稍微整理一下:

    如果在时间方向用梯形公式,则类似于(1.21)得到所谓Crank-Nicolson格式:

    2 抛物型方程的应用实例2.1 具有粘性的波动方程

    考虑如下初值问题[1]

    (2.1)

    如果,那么方程化为波动方程;如果,那么方程可以写成

    这是热传导方程。

    可以用隐式和显式格式求解(2.1)式,下面考虑显式差分格式

    (2.2)

    从格式的构造可以得到,其截断误差为。

    下面用Fourier方法讨论稳定性。(2.2)式三层格式,用标准方法可求得其增长矩阵为

    其中

    ,

    增长矩阵的特征方程为

    得,当

    时有。

    简单地,取

    (2.3)

    作为格式(2.2)的稳定性条件。2.2 混合方程组

    在可压缩流体的流动中,从一点到另一点的温度常有相当大的差别。因而由热传导引起的能量传递可以对运动有显著的影响。于是,热传导的抛物型方程和流体动力学的双曲型方程结合起来了,这两种现象必须合并计算。

    设压力、比容和单位体积的内能分别为,其中都是未经扰动时的值,且。设物质的速度为。都是的函数。为等温声速。我们取状态方程为

    使用辅助因变量,并对小量精确到一阶项,则得微分方程组

    (2.4)

    其中为定常体积下导热率与比热之比。

    方程组(2.4)是双曲型方程和抛物型方程结合在一起的混合方程组。对于这个方程组,可以构造多种多样的差分格式。简单的显式格式是

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