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    导数及其应用

    分分彩软件手机版 www.xpmw.net 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.

    2. 熟记八个基本导数公式(c,m

    x (m 为有理数),x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.

    3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

    导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有关问题要能自觉地运用导数.

    第1课时 变化率与导数、导数的计算

    1.导数的概念:函数y =)(x f 的导数)(x f ',就是当Δx →0时,函数的

    增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x

    y ??的 ,即)(x f '= = .

    2.导函数:函数y =)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在,就说)(x f 在区间( a, b )内 ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做)(x f 的 ,记作)(x f '或x y ',函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ,就是)(x f 在0x 处的导数.

    3.导数的几何意义:设函数y =)(x f 在点0x 处可导,那么它在该点的

    导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .

    4.求导数的方法

    (1) 八个基本求导公式

    )('C = ; )('n x = ;(n∈Q)

    )(sin '

    x = , )(cos 'x = )('x e = , )('x a =

    )(ln 'x = , )(log 'x a =

    (2) 导数的四则运算

    )('

    ±v u = ])(['x Cf = )('uv = ,)('v

    u = )0(≠v (3) 复合函数的导数

    设)(x u θ=在点x 处可导,)(u f y =在点)(x u θ=处可导,则复合函数)]([x f θ在

    点x 处可导, 且)(x f '= ,即x u x u y y '?'='.

    y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.

    解 ∵Δy=

    11)(11)(11)(202020202020+++?+--+?+=+-+?+x x x x x x x x x .1

    1)(2,11)()(22020020202

    0+++?+?+=??∴+++?+?+?=x x x x x x y x x x x x x 变式训练1. 求y=

    x 在x=x 0

    处的导数解 )

    ())((lim lim lim 00000000

    000x x x x x x x x x x x x x x x y x x x +?+?+?+-?+=?-?+=??→?→?→?.

    211

    lim 0000x x x x x =+?+=→?例2. 求下列各函数的导数:

    (1);sin 25x x

    x x y ++= (2));

    3)(2)(1(+++=x x x y (3);4cos 212sin 2??

    ? ??--=x x y (4).11

    11

    ++-= 解 (1)∵,sin sin 23232521

    x x x x x x x x y ++=++=

    - ∴y′.cos sin 232

    3)sin ()()(232252323

    x -----+-+-='+'+'= (2)方法一 y=(x 2+3x+2)(x+3)=x 3+6x 2+11x+6,

    ∴y′=3x 2+12x+11.

    方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('

    +++++'++x x x x x x =[])2)(1()2()1('++++'+x x x x (x+3)+(x+1)(x+2)

    =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2

    (3)∵y=,sin 2

    12cos 2sin x x x =??? ??--∴.cos 21)(sin 2

    1sin 21x x x y ='='??? ??='(4)x x x x

    x x x y -=+--++=++-=12

    )1)(1(1111

    11

    ,

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