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    解三角形

    分分彩软件手机版 www.xpmw.net (一)正弦定理和余弦定理

    掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

    (二) 应用

    正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.

    第1课时 三角形中的有关问题

    变式训练1:(1)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B = ( )

    A .14

    B .34

    C .

    4 D .3

    解:B 提示:利用余弦定理(2)在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 ( )

    A.0020,45,80b A C ===

    B.0

    30,28,60a c B ===

    C.014,16,45a b A ===

    D. 0

    12,15,120a c A ===解:C 提示:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解

    (3)在△ABC 中,已知5cos 13A =,3sin 5

    B =,则cos

    C 的值为( )A 1665 B 5665 C 1665或 5665

    65-解:A 提示:在△ABC 中,由sin sin A B A B >?> 知角B 为锐角

    (4)若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +,则a 的取值范围是 .

    解:02a << 提示:由222(1)(2)3(1)(2)(3)

    a a a a a a +++>+??+++<+?可得(5)在△ABC 中,

    060,1,sin sin sin ABC a b c A b S A B C ++∠===++则= .

    解:

    3

    4c =,由余弦定理可求得a =例3. 已知在△ABC 中,sinA(sinB +cosB)-sinC =0,sinB +cos2C =0,求角A 、B 、C .

    解:由sinA(sinB +cosB)-sinC =0,得sinAsinB +sinAcosB -sin(A +B)=0,

    所以sinB(sinA -cosA)=0

    ∵B ∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA =sinA ,由A ∈(0, π),知A =4

    π从而B +C =π43

    ,由sinB +cos2C =0得sinB +cos2(π4

    3-B)=0cos =(23

    π-2B)=cos[2π-(2π+2B)]=cos(2

    π+2B)=-sin2B

    得sinB -sin2B =0,亦即sinB -2sinBcosB =0,由此各cosB =2

    1,B =3

    π,C =125π∴A =4π B =3

    π C =π125变式训练3:已知△ABC 中,2

    2(sin 2A -sin 2C )=(a -b )sinB ,△ABC 外接圆半径为

    2.

    (1)求∠C ;(2)求△ABC 面积的最大值.

    解:(1)由2

    2(sin 2A -sin 2C )=(a -b )·sinB 得22(224R a -224R c )=(a -b )

    R b 2.又∵R=2,∴a 2-c 2=ab -b 2.∴a 2+b 2-c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=2

    1.又∵0°<C <180°,∴C=60°.

    (2)S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin (120°-A )

    =2

    3sinA (sin120°cosA -cos120°sinA )=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A -23cos2A+23=3sin (2A -30°)+23

    .

    ∴当2A=120°,即A=60°时,S max =233.

    第2课时 应用性问题

    1.三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等);

    2.正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等;3.实际问题中有关术语、名称.

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