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    数系的扩充与复数的引入

    分分彩软件手机版 www.xpmw.net 1、

    了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用.

    2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件

    3、了解复数的代数表示法及其几何意义,能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

    重视复数的概念和运算,注意复数问题实数化.

    第1课时 复数的有关概念

    1.复数:形如

    ),(R b a ∈的数叫做复数,其中a , b 分别叫它的

    和 .2.分类:设复数 (,)z a bi a b R =+∈:

    (1) 当 =0时,z 为实数;

    (2) 当 ≠0时,z 为虚数;

    (3) 当 =0, 且 ≠0时,z 为纯虚数.

    3.复数相等:如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.

    4.共轭复数:当两个复数实部 ,虚部 时.这两个复数互为共轭复数.(当虚部不为零时,也可说成互为共轭虚数).

    5.若z =a +bi, (a, b ∈R), 则 | z |= ; z z ?= .

    6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 , 叫虚轴.

    7.复数z =a +bi(a, b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系.

    8.两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数,就 比较它们的大小.

    例1. m 取何实数值时,复数z =3

    m m m +i m m )152(2--是实数?是纯虚数?

    解:① z 是实数503015122

    =????≠+=--?m m m m ② z 为纯虚数

    2

    ?0151222-==???

    ???≠+=--≠--?m m m m m m m 或变式训练1:当m 分别为何实数时,复数z=m 2-1+(m 2+3m +2)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?

    解:(1)m=-1,m=-2;(2)m≠-1,m≠-2;(3)m=1;(4)m=-1.例2. 已知x 、y 为共轭复数,且i xyi y x 643)(2-=-+,求x .

    解:设),(,R b a bi a y bi a x ∈-=+=则代入由复数相等的概念可得1,1±=±=b a 变式训练2:已知复数

    z=1+i ,如果221z az b z z ++-+=1-i,求实数a,b 的值.

    由z=1+i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i

    a +2)-(a +b)i 从而21()1a a b +=??-+=-?,解得12

    -??=?.例3. 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根,试求实数m 的值.解:设实根为o x ,代入利用复数相等的概念可得o x =2

    22±=?±m 变式训练3:若关于x 的方程x 2+(t 2+3t +tx )i=0有纯虚数根,求实数t 的值和该方程的根.

    解:t=-3,x 1=0,x 2=3i .提示:提示:设出方程的纯虚数根,分别令实部、虚部为0,将问题转化成解方程组.

    例4. 复数 (,)z x yi x y R =+∈满足|22|||i z z --=,试求y x 33+的最小值.设),(R y x yi x z ∈+=,则2=+y x ,

    于是692332=≥+-x x 变式训练4:已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是i z +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=,其中)2,0(πθ∈,设AB 对应的复数为z .

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