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    随机变量的函数的分布 P44?背景设某班有30人,一次期末考试成绩分布如下 50以下 5 0.167 60以下 50-60 6 0.2 60-70 60-70 10 0.333 70-80 70-80 7 0.233 80-90 80-90 2 0.067 90-100成绩 人数 概率 成绩一般地,设y=g(x)是一元实函数,X是一个随机变量, 若X的取值在函数y=g(x)的定义域内,则Y=g(X)也为一随机变量。离散随机变量的函数的分布P44若X为离散型 随机变量, 其分布律为X x1 x2 x3 ....... xn....pkp1p2p3 .......pn....则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为Y pk g( x1) g( x2) g( x3)..... g (xn).... p1 p2 p3 ..... pn....如果g( x i )与g( x j )相同,此时将两项合并,对应概率相加.例设随机变量X的分布律为P45X -1 0 1 2p解k0.20.30.40.12 求 Y? 的分布律. 2 X ? 1由题设可得如下表格X Y=2X2+1 概率 -1 3 0.2 0 1 0.3 1 3 0.4 2 9 0.1所以,Y=2X2+1的分布律为 Y1 0.3 3 0.6 9 0.1pk例设圆半径X的分布律为X 9.50.06100.510.50.4110.04p求周长及面积的分布律.k解由题设可得如下表格 X 周长 面积 9.5 19π 90.25π 10 20π 100π 10.5 21π 110.25π 11 22π 121π概率0.060.50.40.04解所以,周长的分布律为 周长 概率 19π 0.06 20π 0.5 21π 0.4 22π 0.04面积的分布律为面积90.25π100π110.25π121π概率0.060.50.40.04密度函数随机变量分布函数fX (x)XY ? g(X)随机变量的函数FX (x)fY ( y )FY ( y )连续型随机变量的函数的分布P45设 X 为一个连续型随机变量,其概率密度函数为 f(x)。 y = g(x)为一个连续函数,求随机变量Y=g(X)的概率密度 函数 ? 一般方法 (1) 求Y的分布函数 FY(y)FY ( y )根据分布函数的定义PgX {( )? y } P{Y ? y} ?(2) 把FY(y)两边对y求导,得到 fY(y)? f ( y ) ? F y ) Y Y(一般地v x ??? ? ftd ? ? ? t ? fv xv x ? fu xu x ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? u x ? ? ?? ? ?特别地? ? ? ?avx ??? ? ? f?? td t ? f? vx v x ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? f?? ? ? t d t ? ? f ux u x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?ux ?b设随机变量X的密度函数为 P47 例5?x ? ,0 ? x ? 4 f ( x) ? ? 8 ? ? 0, 其它求随机变量Y=2X+8的概率密度。 解(1) 先求Y=2X+8的分布函数 FY (y).FY ( y ) ? PY { ?y }? P { 2 X ? 8 ? y }y ?8 ? P{X ? } ? 2?y ?8 2 ??f ( x)dx?x ? ,0 ? x ? 4 f ( x) ? ? 8 ? (2) 求Y=2X+8的概率密度 ? 0, 其它? y ? 8 y ? 8 y ? 8 ? ? ? ? 1? ? ?y f? f y )?F )? ? ? ?? f? ? Y( Y( ? 2? ? 2? 2 ? 2??1 1 ? y ? 8 ? y ?8 ? y ?8 . ? ,

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