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    随机变量的函数的分布 P44

    ?

    背景

    设某班有30人,一次期末考试成绩分布如下 50以下 5 0.167 60以下 50-60 6 0.2 60-70 60-70 10 0.333 70-80 70-80 7 0.233 80-90 80-90 2 0.067 90-100

    成绩 人数 概率 成绩

    一般地,设y=g(x)是一元实函数,X是一个随机变量, 若X的取值在函数y=g(x)的定义域内,则Y=g(X)也为

    一随机变量。

    \f离散随机变量的函数的分布P44

    若X为离散型 随机变量, 其分布律为

    X x1 x2 x3 ....... xn....

    pk

    p1

    p2

    p3 .......pn....

    则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为

    Y pk g( x1) g( x2) g( x3)..... g (xn).... p1 p2 p3 ..... pn....

    如果g( x i )与g( x j )相同,此时将两项合并,对应概率相加.

    \f例

    设随机变量X的分布律为P45

    X -1 0 1 2

    p

    k

    0.2

    0.3

    0.4

    0.1

    2 求 Y? 的分布律. 2 X ? 1

    由题设可得如下表格

    X Y=2X2+1 概率 -1 3 0.2 0 1 0.3 1 3 0.4 2 9 0.1

    所以,Y=2X2+1的分布律为 Y

    1 0.3 3 0.6 9 0.1

    p

    k

    \f例

    设圆半径X的分布律为

    X 9.5

    0.06

    10

    0.5

    10.5

    0.4

    11

    0.04

    p

    求周长及面积的分布律.

    k

    由题设可得如下表格 X 周长 面积 9.5 19π 90.25π 10 20π 100π 10.5 21π 110.25π 11 22π 121π

    概率

    0.06

    0.5

    0.4

    0.04

    \f解

    所以,周长的分布律为 周长 概率 19π 0.06 20π 0.5 21π 0.4 22π 0.04

    面积的分布律为

    面积

    90.25π

    100π

    110.25π

    121π

    概率

    0.06

    0.5

    0.4

    0.04

    \f密度函数

    随机变量

    分布函数

    fX (x)

    X

    Y ? g(X)

    随机变量的函数

    FX (x)

    fY ( y )

    FY ( y )

    \f连续型随机变量的函数的分布P45

    设 X 为一个连续型随机变量,其概率密度函数为 f(x)。 y = g(x)为一个连续函数,求随机变量Y=g(X)的概率密度 函数 ? 一般方法 (1) 求Y的分布函数 FY(y)

    FY ( y )

    根据分布函数的定义

    PgX {( )? y } P{Y ? y} ?

    (2) 把FY(y)两边对y求导,得到 fY(y)

    ? f ( y ) ? F y ) Y Y(

    \f一般地

    v x ??

    ? ? ftd ? ? ? t ? fv xv x ? fu xu x ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? u x ? ? ?? ? ?

    特别地

    ? ? ? ?a

    vx ??

    ? ? ? f?? td t ? f? vx v x ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    ? ? f?? ? ? t d t ? ? f ux u x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?ux ?

    b

    \f设随机变量X的密度函数为 P47 例5

    ?x ? ,0 ? x ? 4 f ( x) ? ? 8 ? ? 0, 其它

    求随机变量Y=2X+8的概率密度。 解(1) 先求Y=2X+8的分布函数 FY (y).

    FY ( y ) ? PY { ?y }? P { 2 X ? 8 ? y }

    y ?8 ? P{X ? } ? 2

    ?

    y ?8 2 ??

    f ( x)dx

    \f?x ? ,0 ? x ? 4 f ( x) ? ? 8 ? (2) 求Y=2X+8的概率密度 ? 0, 其它

    ? y ? 8 y ? 8 y ? 8 ? ? ? ? 1? ? ?y f? f y )?F )? ? ? ?? f? ? Y( Y( ? 2? ? 2? 2 ? 2?

    ?1 1 ? y ? 8 ? y ?8 ? y ?8 . ? , \r

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