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    第八章多元函数微分法及其应用第二节偏导数第三节全微分?一、全微分定义 ?二、可微与连续的关系 ?三、可微的条件 ?四、内容小节机动 前页 后页 返回一、全微分定义? z? f(x? ? x , y? ? y )?f(x ,y )可表示 ? z ? A 为 ? x ? B ? y ? ? ( ? )复习如果 z? f(x ,y ) 在点 (x ,y ) 处的全增量? ?? ? ?) ( A ,B 与 ? x , ? y 无关 ? ?, ? x ? y2 2则称 z? f(x ,y ) 在点 (x .y ) 可微,称 A ? x ? B ? y 为其在点 (x ,y ) 处的全微分,记作 dz ( x ? ? x ,y ? ? y ) 即 dz ?A ? x ?B ? y . ρ( x, y)机动 前页 后页 返回二、可微与连续的关系定理:z ? f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 z ? f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连? x ? 0 ? y ? 0证 只 : 要 lim f ( x 证 ? ? x , y ? ? y ) ? f ( x , y )即 可? z ? f ( x , y ) 可 ? ? 微 z ? A ? x ? B ? y ? o ( ? ) 则 f ( x 有 ? ? x , y ? ? y ) ? f ( x , y ) ? A ? x ? B ? y ? o ( ? )? lim f ( x ? ? x , y ? ? y ) ? f ( x , y ) 成立? x ? 0 ? y ? 0? ? 定理的逆命题是否仍然 问题 成立?机动 前页 后页 返回故函数 z ? f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处连续。 #例 1 问函数 z?f( x ,y )?x ?y 是否可微? 若可微 dz ? ?解: 由可微定义 ? z?(x ? ? x )? (y ? ? y ) ? (x ?y ) ? 2 x ? x ? 2 y ? y ?( ? x )? ( ? y )2 222?22??2222? ? ?( ? )? ( ? x )? ( ? y ) ? x ? y? 考 lim 查 ? lim ? x ? ? y ? ? ? ? 0 ? ? 0? ? ? ? ?? x ? y ? ?1, ?1均为有界??=0机动 前页 后页 返回? ( ? x )? ( ? y ) ? x ? y ? 由 lim 于 ? lim ? x ? ? y = 0 ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? ?? ?22? (? x) ?(? y) ?? (?) ,2 2故z ? f (x, y)在 (x, y)点可微。且 dz ? 2 x ? x ? 2 y ? y = fx? x? fy? y机动 前页 后页 返回三、可微的条件定理 1( 必 要 条 件 ) 若 z ? f ( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 则在 ( x, y)点处 fx (x,y)及 f y (x,y)均存在, 且 dz ? fx ( x, y)dx? f y ( x, y)dy .证: 据题意 z ? f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微,? 则对邻域 U ( P , ? ) 内任意点 P ( x ? ? x ,y ? ? y ), 有? z?f( x ? ? x ,y ? ? y ) ? f( x ,y ) ? A ? x ? B ? y + ? ( ? )机动 前页 后页 返回上式 取 ? y 中 ? 0, ? ?( ? x )? ? x2有 ? z ? f ( x ? ? x ,y ) ? f ( x ,y ) ? A ? x ? ? ( ? x ) x? ? ? ? ? ? x f ( x ? ? x ,y ) ? f ( x ,y ) ?A ??A 则 lim ?lim ? ? ? ? x ? 0 ? x ? 0 ? x ? x ? ?? fx(x ,y )?A 存在,同理可 f ( 证 x ,y )? B. y注: z ? f ( x , y ) 可微

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